После выхода на экраны фильма «Война и мир» к актрисе пришла слава и любовь телезрителей. Девушку, сыгравшую Наташу Ростову, назвали русской «Одри Хепберн».
В этот период Людмила начала встречаться с Александром Збруевым, после знакомства в одном из ресторанов. Актер уже был известным, так как снялся во многих советских фильмах. Людмила, как и многие девушки ее поколения, была поклонницей Збруева. Влюбленные сыграли свадьбу. Збруев женился во второй раз, а его жена создала семью впервые.
В течение нескольких лет ничто не омрачало счастья супругов. Людмила родила дочь Наталью. Актриса признавалась, что ей с мужем повезло, так как готовить она не любила, а Александр был неприхотлив в еде.
Савельевой стало известно, что ее муж увлекся Еленой Шаниной, молодой актрисой. Елена родила от возлюбленного дочку Татьяну.
Збруев не хотел уходить из семьи. Его жена тоже не была готова к разводу. Супруги сумели сохранить брак. С тех пор на вопросы «о личном» Савельева не отвечает.
О жизни дочери Людмила тоже не любит говорить. Наталья снялась в фильме «Если верить Лопотухину», но свое место в жизни так и не сумела найти. В 2012 году она попала в больницу с инсультом. В настоящее время 77 - летняя Савельева не снимается в кино.